MSC 2010

Analisis Numerik

(Kode 65-XX)

 

Pada Kamus Besar Bahasa Indonesia (KBBI), analisis berarti penelaahan dan penguraian data hingga menghasilkan simpulan sedangkan numerik berarti yang berwujud angka. Berdasarkan acuan tersebut kita dapat mengartikan analisis numerik sebagai penelaahan dan pengurai data hingga menghasilkan kesimpulan yang berwujud angka.

Analisis numerik adalah studi algoritma untuk memecahkan masalah dalam matematika kontinu (sebagaimana dibedakan dengan matematika diskret). Salah satu tulisan matematika terdini adalah tablet Babilonia YBC 7289, yang memberikan hampiran numerik seksagesimal dari , panjang diagonal dari persegi satuan.

Kemampuan untuk dapat menghitung sisi segitiga (dan berarti mampu menghitung akar kuadrat) sangatlah penting, misalnya, dalam pertukangan kayu dan konstruksi.

Analisis numerik melanjutkan tradisi panjang perhitungan praktis matematika ini. Seperti hampiran orang Babilonia terhadap , analisis numerik modern tidak mencari jawaban eksak, karena jawaban eksak dalam prakteknya tidak mungkin diperoleh. Sebagai gantinya, kebanyakan analisis numerik memperhatikan bagaimana memperoleh pemecahan hampiran, dalam batas galat yang beralasan.

Pendekatan yang digunakan  dalam metode numerik merupakan pendekatan analitis matematis. Sehingga dasar pemikirannya tidak keluar dari dasar pemikiran analitis, hanya saja teknik perhitungan yang mudah merupakan pertimbangan dalam pemakaian metode numerik. Mengingat bahwa algoritma yang dikembangkan dalam metode numerik adalah algoritma pendekatan maka dalam algoritma tersebut akan muncul istilah iterasi yaitu pengulangan proses perhitungan. Dengan kata lain perhitungan dengan metode numerik adalah perhitungan yang dilakukan secara berulang-ulang untuk terus-menerus memperoleh hasil yang semakin mendekati nilai penyelesaian yang sebenarnya.

A.     Topik utama dalam analisis numerik

1.   Galat

Dengan menggunakan metode pendekatan semacam ini, tentunya setiap nilai hasil perhitungan akan mempunyai GALAT (error) atau nilai kesalahan. Kesalahan ini penting artinya, karena kesalahan dalam pemakaian algoritma pendekatan akan menyebabkan nilai kesalahan yang besar, tentunya ini tidak diharapkan. Sehingga pendekatan metode numerik selalu membahas tingkat kesalahan dan tingkat kecepatan proses yang akan terjadi.Menganalisis galat sangat penting di dalam perhitungan yang menggunakan metode numerik. Galat berasosiasi dengan seberapa dekat solusi hampiran terhadap solusi sejatinya. Semakin kecil galatnya, semakin teliti solusi numerik yang didapatkan.

2.   Interpolasi

Interpolasi merupakan suatu pendekatan numerik yang perlu dilakukan, bila kita memerlukan nilai suatu fungsi y = y (x) yang tidak diketahui perumusannya secara tepat, Pada nilai argumen x tertentu, bila nilainya pada argumen lain di sekitar argumen yang diinginkan diketahui. Sebagai contohnya, misal kita melakukan percobaan atau pengamatan, dan dari upaya tersebut, diperoleh sekumpulan data (x,y), seperti pada tabel berikut  hubungan y = f(x) tidak kita ketahui secara jelas (eksplisit).

3.     Mencari akar

a.     Metode bagi dua

Dalam matematika, metode bagi-dua adalah algoritma pencarian akar yang membagi dua selang, lalu memilih bagian selang yang berisi akar seharusnya berada untuk diproses lebih lanjut. Metode ini sangat sederhana dan tangguh, tapi juga sangat lambat.

Metode ini berlaku ketika kita ingin memecahkan persamaan f(x) = 0 untuk variabel skalar x, di mana f merupakanfungsi kontinu.

Metode bagi-dua mensyaratkan dua titik awal a dan b sedemikian sehingga f(a) dan f(b) memiliki tanda berlainan. Ini dinamakan kurung dari sebuah akar. Menurut teorema nilai antara, fungsi f mestilah memiliki paling tidak satu akar dalam selang (a, b). Metode ini kemudian membagi selang menjadi dua dengan menghitung titik tengah c = (a + b) / 2 dari selang tersebut. Kecuali c sendiri merupakan akar persamaan, yang mungkin saja terjadi, tapi cukup jarang, sekarang ada dua kemungkinan: f(a) dan f(c) memiliki tanda berlawanan dan mengapit akar, atau f(c) dan f(b) memiliki tanda berlawanan dan mengapit akar. Kita memilih bagian selang yang mengapit, dan menerapkan langkah bagi-dua serupa terhadapnya. Dengan cara ini selang yang mungkin mengandung nilai nol dari f dikurangi lebarnya sebesar 50% pada setiap langkah. Kita meneruskan langkah ini sampai kita memiliki selang yang dianggap cukup kecil.

Secara eksplisit: jika f(a) f(c) < 0, maka metode ini menetapkan b baru sama dengan c, dan bila f(b) f(c) < 0, maka metode ini menetapkan a baru sama dengan c. Dalam kedua kasus, f(a) dan f(b) baru memiliki tanda berlawanan, sehingga metode ini dapat diterapkan pada selang baru yang lebih kecil ini. Implementasi metode ini harus berjaga-jaga terhadap kemungkinan bahwa titik tengah ternyata merupakan pemecahan.

b.     Metode sekan

Dalam analisis numerik, metode sekan adalah algoritma pencari akar yang menggunakan secara berturut-turut akar dari garis sekan untuk menghampiri akar darifungsi matematika f.

4.     Persamaan Diferensial

Persamaan diferensial adalah persamaan matematika untuk fungsi satu variabel atau lebih yang menghubungkan nilai fungsi itu sendiri dan turunannya dalam berbagai orde.Persamaan diferensial memegang peranan penting dalam rekayasa, fisika, ilmu ekonomi dan berbagai

persamaan diferensial muncul dalam berbagai bidang sains dan teknologi, bilamana hubungan deterministic yang melibatkan besaran yang berubah secara kontinu (dimodelkan oleh fungsi matematika) dan laju perubahannya (dinyatakan sebagai turunan) diketahui atau dipostulatkan. Ini terlihat misalnya pada mekanika klasik, di mana gerakan sebuah benda diperikan oleh posisi dan kecepatannya terhadap waktu.  Hukum Newton memungkinkan kita mengetahui hubungan posisi, kecepatan, percepatan dan berbagai gaya yang bertindak terhadap benda tersebut, dan menyatakannya sebagai persamaan diferensial posisi sebagai fungsi waktu. Dalam banyak kasus, persamaan diferensial ini dapat dipecahkan secara eksplisit, dan menghasilkan hukum gerak.

B.    Sejarah dan Perkembangan Analisis Numerik

Bidang analisis numerik sudah sudah dikembangkan berabad-abad sebelum penemuan komputer modern. Interpolasi linear sudah digunakan lebih dari 2000 tahun yang lalu. Banyak matematikawan besar dari masa lalu disibukkan oleh analisis numerik, seperti yang terlihat jelas dari nama algoritma penting seperti metode Newton, interpolasi polinomial Lagrange, eliminasi Gauss, atau metode Euler.

Buku-buku besar berisi rumus dan tabel data seperti interpolasi titik dan koefisien fungsi diciptakan untuk memudahkan perhitungan tangan. Dengan menggunakan tabel ini (seringkali menampilkan perhitungan sampai 16 angka desimal atau lebih untuk beberapa fungsi), kita bisa melihat nilai-nilai untuk diisikan ke dalam rumus yang diberikan dan mencapai perkiraan numeris sangat baik untuk beberapa fungsi. Karya utama dalam bidang ini adalah penerbitan NIST yang disunting olehAbramovich dan Stegun, sebuah buku setebal 1000 halaman lebih. Buku ini berisi banyak sekali rumus yang umum digunakan dan fungsi dan nilai-nilainya di banyak titik. Nilai f-nilai fungsi tersebut tidak lagi terlalu berguna ketika komputer tersedia, namun senarai rumus masih mungkin sangat berguna.

Analisis numerik secara alami diterapkan di semua bidang rekayasa dan ilmu-ilmu fisis, namun pada abad ke-21, ilmu-ilmu hayati dan seni mulai mengadopsi unsur-unsur komputasi ilmiah. Persamaan diferensial biasa muncul dalam pergerakan benda langit (planet, bintang dan galaksi. Optimisasi muncul dalam pengelolaan portofolio. Aljabar linear numerik sangat penting dalam psikologi kuantitatif. Persamaan diferensial stokastik dan rantai Markov penting dalam mensimulasikan sel hidup dalam kedokteran dan biologi

Sebelum munculnya komputer modern metode numerik kerap kali tergantung pada interpolasi menggunakan pada tabel besar yang dicetak. Sejak pertengahan abad ke-20, sebagai gantinya, komputer menghitung fungsi yang diperlukan. Namun algoritma interpolasi mungkin masih digunakan sebagai bagian dari peranti lunak untuk memecahkan persamaan diferensial.

Kalkulator mekanik juga dikembangkan sebagai alat untuk perhitungan tangan. Kalkulator ini berevolusi menjadi komputer elektronik pada tahun 1940. Kemudian ditemukan bahwa komputer juga berguna untuk tujuan administratif. Tetapi penemuan komputer juga mempengaruhi bidang analisis numerik, karena memungkinkan dilakukannya perhitungan yang lebih panjang dan rumit.

Seperti yang kita ketahui, perkembangan komputer kian hari kian meningkat mulai dari kecepatan dalam membaca suatu perintah yang diberikan user sampai pada  bentuknya yang saat ini sudah semakin praktis dan mudah dibawa ke mana pun kapan pun karena ukurannya yang sangat kecil hingga bisa kita masukan kedalam saku.  Namun selain itu, komputer zaman sekarang pun kecepatannya dalam membaca suatu  perintah sudah semakin cepat, ini tidak lain dikarenakan rumus dasar dari  permasalahan-permasalahan komputer kian hari kian bertambah. Maka dari itu tidak aneh apabila kian hari komputer semakin berkembang. Dengan semakin berkembangnya suatu komputer, maka itu berarti kita dapat melakukan suatu kegiatan yang biasanya rumit menjadi mudah, salah satuannya yaitu dalam melakukan proses perhitungan.

Zaman dulu mungkin untuk melakukan suatu  perhitungan mengenai perbankan, jumlah penduduk, dan lain sebagainya memerlukan waktu yang cukup lama, hal ini dikarenakan kurangnya fasilitas yang memadai. Namun dengan berkembangnya komputer dan juga dengan adanya bahasa pemrograman seperti VB, C++, C#, PASCAL, dan bahasa pemrograman lainnya kita dapat memanfaatkan itu semua untuk membuat suatu perhitungan dengan menggunakan bahasa sesuai dengan kemampuan kita.

Sumber:

wikipedia